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標準問題精選 ■ 標準問題精選① ├ H01 三角関数の方程式・不等式 └ H02 指数・対数関数の方程式・不等式
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(1) 実数xが-1 x 1,x≠0をみたすとき,次の不等式を示せ. (2) 次の不等式を示せ. (1) 示すべき不等式はと同値. f(x)=x{(左辺)-(右辺)}とおく.f(x) 0 (-1 x 0),f(x) 0 (0 x 1)を示せばよい. よりf(x)は単調減少. f(0)=(0-1)log(1-0)-log(1+0)=0 なので示すべきことが成立する. (2) (1)の不等式の両辺にをかけて . x=0.01を代入して . (1)の不等式の両辺にをかけて . x=-0.01を代入して . 以上より示された.
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数学の部屋/香川県中学校教育研究会数学部会 木田・香川支部 トップページから、「中学数学学習指導案」を選択して、指導案集へ進めます。 1年、2年、3年、課題学習と分けて、指導案が整理されておいてあります。指導案形式は、細案の物もありますが、基本的には展開と指導に使われるプリントからなっているようです。 1年 関数 比例 2年 不等式 校舎の高さを測ろう 多項式の減法 文字を使った説明 不等式と解 不等式の解き方 1次関数 1次関数のグラフ 1次関数のグラフ(変域のあるグラフ) 2元1次方程式のグラフ(軸に平行な直線) 連立方程式(導入) 加減法による解き方 代入法による解き方 連立方程式を使って解く 三角形の角 2つの角が等しい三角形(命題の逆) 合同条件の利用 相対度数,平均値 覆面算 3年 図形の計量 二次方程式 自由落下を式で表そう 課題学習 エスカレーター 魔方陣 運動会の道具を工夫しよう ハノイの塔 トイレットペーパーの回転数を求めよう ハノイの塔 インターネットを利用した課題解決学習 りんご狩り(石取りゲームの数理) 数学の部屋 著作権者 香川県中学校教育研究会数学部会 木田・香川支部 等 分類 形式 HTML
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数学Ⅰ数と式式の計算 実数 1次不等式 集合と命題 2次関数2次関数とグラフ 2次関数の値の変化 2次方程式と2次不等式 図形と計量三角比 三角形への応用 データの分析 数学Ⅱ式と証明式と計算 等式・不等式の証明 複素数と方程式複素数と2次方程式の解 高次方程式 図形と方程式点と直線 円 軌跡と領域 三角関数三角関数 加法定理 指数関数と対数関数指数関数 対数関数 微分法と積分法微分係数と導関数 関数の値の変化 微分法 数学Ⅲ複素数平面 式と曲線2次曲線 媒介変数表示と極座標 関数 極限数列の極限 関数の極限 微分法導関数 いろいろな関数の導関数 微分法の応用導関数の応用 いろいろな応用 積分法とその応用不定積分 定積分 積分法の応用 数学A場合の数と確率場合の数 確率 図形の性質平面図形 空間図形 整数の性質約数と倍数 ユーグリッドの互除法 整数の性質の活用 数学B平面上のベクトルベクトルとその演算 ベクトルと平面図形 空間のベクトル 数列等差数列と等比数列 いろいろな数列 数学的帰納法 確率分布と統計的な推測確率分布 統計的な推測
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前ページ次ページLibrary/数学 解析学全般 高木 貞治, "解析学概論" 黒田 成俊, "関数解析" ハイム フレシス, "関数解析 その理論と応用に向けて" Yoshida , "Functional Analysis" スピヴァック, "多変数解析学" 山田 ,"工学のための関数解析" 小川 ,"工学系の関数解析" ルベーグ積分 志賀 浩二,"ルベーグ積分30講",朝倉書店 ルベーグ,"積分・長さおよび面積" 伊藤 清,"ルベーグ積分入門" 森 真,"ルベーグ積分超入門" ヒルベルト空間 吉田 耕作,"ヒルベルト空間" 新井 朝雄,"ヒルベルト空間と量子力学" 斉藤三郎,"再生核の理論入門" 不等式 G・H・ハーディ,G・ポーヤ,"不等式" 海津,"不等式の工学への応用" 渡部隆一,"不等式入門" 微分方程式論 フーリエ解析 松下康雄, ...フーリエ解析 基礎と応用 洲之内 源一郎, ...フーリエ解析とその応用 北田 均,"フーリエ解析の話" ベクトル解析 H.P.スウ, ...ベクトル解析 増田 真郎, ...ベクトル解析 複素関数論 渡部 隆一, 宮崎 浩, ...複素関数 エリアス, ラミ,"複素解析", プリンストン解析学講義 一松信,"留数解析" 楕円関数論 梅村浩,"楕円関数論" 超関数 解析学全般 高木 貞治, "解析学概論" 黒田 成俊, "関数解析" ハイム フレシス, "関数解析 その理論と応用に向けて" Yoshida , "Functional Analysis" スピヴァック, "多変数解析学" 山田 ,"工学のための関数解析" 小川 ,"工学系の関数解析" ルベーグ積分 志賀 浩二,"ルベーグ積分30講",朝倉書店 ルベーグ,"積分・長さおよび面積" 伊藤 清,"ルベーグ積分入門" 森 真,"ルベーグ積分超入門" ヒルベルト空間 吉田 耕作,"ヒルベルト空間" 新井 朝雄,"ヒルベルト空間と量子力学" 斉藤三郎,"再生核の理論入門" 応用例が豊富ですばらしい。 不等式 G・H・ハーディ,G・ポーヤ,"不等式" 海津,"不等式の工学への応用" 渡部隆一,"不等式入門" 微分方程式論 Library/数学/微分方程式 フーリエ解析 松下康雄, ...フーリエ解析 基礎と応用 洲之内 源一郎, ...フーリエ解析とその応用 北田 均,"フーリエ解析の話" ベクトル解析 H.P.スウ, ...ベクトル解析 増田 真郎, ...ベクトル解析 複素関数論 渡部 隆一, 宮崎 浩, ...複素関数 エリアス, ラミ,"複素解析", プリンストン解析学講義 一松信,"留数解析" 楕円関数論 梅村浩,"楕円関数論" 超関数
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(1) すべての自然数kに対して,次の不等式を示せ. (2) m nであるようなすべての自然数mとnに対して,次の不等式を示せ. (1) (2) であるから, (1)より k=nからm-1まで足して示すべき不等式を得る.
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数学Ⅰ・数学A 担当:鈴木明子 教材:数学Ⅰ,数学A(第一学習社) 月 回 単元 内容 4 1 1-1 数と式 整式とその演算 2 展開公式 3 因数分解 4 たすき掛け 5 実数の分類 5 6 有理数と無理数 7 分母の有理化 8 不等式 9 1次不等式の解法 10 集合 11 命題 12 証明 13 1-2 2次関数 復習 1次関数 14 簡単な2次関数のグラフ 6 15 平方完成 16 グラフの平行移動 17 2次関数の最大と最小 18 19 条件から2次関数を決定 20 2次方程式 21 解の公式 22 2次不等式 7 23 方程式・不等式とグラフ 24 A-1 場合の数 数えあげの原則 25 順列 26 27 組み合わせ 28 円順列 8 29 順列と組み合わせの使い分け 30 A-2 確率 確率の基本 9 31 組み合わせと確率 32 独立な試行 33 反復試行 34 複雑な確率 35 条件つき確率 36 37 1-3 図形と計量 三角比 38 有名角の三角比 10 39 三角比の相互関係 40 単位円 41 余角と補角の定理 42 正弦定理 43 余弦定理 44 sinと三角形の面積 45 図形の問題 46 47 A-2 整数の性質 約数と倍数 11 48 49 倍数判定法 50 素数 51 素因数分解 52 かけ算とわり算の関係 53 ユークリッドの互除法 54 不定方程式 55 56 2進法 12 57 n進法 58 分数と小数 59 A-4 図形の性質 三角形と線分 60 内分と外分 61 三角の4心 62 1 63 円と四角形 64 接弦定理 65 チェバの定理 66 メネラウスの定理 2 67 方べきの定理 68 多面体 69 70 1-4 データの分析 代表値 71 度数分布 72 四分位数 73 四分位数と箱ひげ図 74 分散 3 75 標準偏差 76 もうひとつの分散公式 77 相関係数 78
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実数列に関するシュヴァルツの不等式 は実ベクトルに関するシュヴァルツの不等式より示されるが、これは無限数列についても成り立つかどうかを考察せよ。
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定義 曲線 曲線区間から 平面への写像を曲線という. に対応する点を, 二つの関数とを用いて と表す.関数とが連続であるときを連続曲線という.とが微分可能であるときを微分可能曲線という. 定義 曲線の長さ 区間の分割をとする.この分割をと書く. 曲線上の点 を と表す.これによって2点 と を端点とする折れ線 ができる.この長さをとする. をが区間のすべての分割を(も変化して)動くとき の上限 が存在すればそれを曲線の長さと定義する. ■ 分割の小区間 をさらに分割して とする.三角形 における三角不等式から が成立する.したがって分割の細分に対しては単調に増加する. 定理 区間を定義域とする二つの関数とは区間で連続, に含まれる任意の開区間で微分可能である.さらに,に対して である.このとき曲線 は長さが定まり, の値は で与えられる. ■ 証明 1. 折れ線の長さが有界であることを示す.区間の分割をとる. は閉区間で連続であるから有界で一様連続である.区間で とする.分割の小区間 で平均値の定理を用いる.この小区間内の点 が存在して よって よってには上限が存在し,曲線は長さをもつ. 2. 次にが定積分で与えられることを示す. まず, は連続であるから積分可能である. 次に正数を任意に定める. の一様連続性から区間の任意のとに対して となる正数が存在する. 曲線の長さと定積分がそれぞれ存在するので,分割を十分細かく,かついずれの小区間の幅もより小さくとって とすることができる.そこで において第二の項を評価する. 一般に4実数に対して次の不等式が成り立つ. 第一の不等式は三点 に対する三角不等式 である.さらに両辺平方すれば明らかなように である.上記不等式はこれから従う. この結果,先の小区間での平均値の定理とあわせて よって, は任意の正数なので が示された. □ 系 61.1 関数のグラフのからまでの長さは で与えられる. ■ 証明 グラフはで表されるので,定理61より明らかである. □ 円周の長さ これによって円周の長さの存在が示される.円は1点からの距離が一定であるような点の集合である. 平面で考え中心が半径の半円周上の点は と表され,連続かつ微分可能である.したがって半円周の長さが存在することがわかる.したがって円の弧長をもとにした三角関数も循環論法に陥ることなく定義される.また,曲線の長さの定義から, となる.このとき「外接する多角形の辺長の和の下限」も存在し円周の長さに一致することがわかる.